Schönen guten Morgen, meine Damen und Herren.

Kommen Sie ein bisschen zur Ruhe vielleicht.

Wir haben beim letzten Mal das Moment kennengelernt und dann die entsprechenden

Gleichgewichtsbedingungen. Wir wollen heute anfangen mit einer Anwendung dieses Momentenbegriffs

und zwar bei der Definition des Schwerpunktes. Das ist der Abschnitt 1.5.

Der Schwerpunkt. Und wir fangen an mit einem einfachen Fall und zwar zunächst einmal um die

Idee zu verstehen, der Kräfteschwerpunkt einer Gruppe von parallelen Kräften.

Das heißt, ich zeige mal Koordinatensystem hin, x, y. Wir haben hier irgendwie ein Körper und an dem

Körper greift eine Gruppe von Kräften an, also verschiedene Einzelkräfte f1, f2 und so weiter bis

irgendwo fn. Diese Kräfte, die Wirkungslinien dieser Kräfte sind alle parallel. Ich würde jetzt

gerne diese Kräfte zusammenfassen zu einer Resultierenden. Die Resultierende Kraft vom

Betrag her ist leicht ausgerechnet, indem ich einfach die Kräfte addiere. Die nenne ich mal

Fr, der Summe der Kräfte i gleich 1 bis n. Die Gesamtkraft ist sozusagen die Summe der

Einzelkräfte, da sie alle parallel sind, kann ich sie einfach aufaddieren. Was jetzt noch fehlt,

ist die Wirkungslinie dieser Resultierenden, das heißt der Kraftangriffspunkt bzw. die

Wirkungslinie. Irgendwo wird die Resultierende natürlich die gleiche Richtung haben, wenn die

Kräfte alle parallel nach unten zeigen, zeigt auch die Resultierende irgendwie nach unten. Das heißt,

ich zeichne die jetzt einfach mal irgendwo ein. Fr, aber ich weiß jetzt nicht, wo sie angreift.

Das möchte man ausrechnen und zwar benutzt man dazu die Momentenequivalenz. Das heißt,

die Resultierende muss auf den Körper bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes, das wird hier der

Koordinatenursprung sein, den ich aber natürlich hinlegen kann, wo ich möchte, das gleiche Moment

ausüben wie die Summe der Einzelkräfte. Das heißt, ich bekomme jetzt den Angriffspunkt oder

eigentlich nur die Wirkungslinie, aber das reicht ja aus der Momentenequivalenz und zwar fordere ich,

dass jetzt die Kraft Fr bezüglich des Ursprungs 0 mit ihrem noch unbekannten Abstand Xr das gleiche

Moment hat wie die Summe aller Momente der Einzelkräfte. Das heißt, ich habe hier der

Abstand der Wirkungslinie ist X1, hier gibt es irgendwie X2 bis Xn, sodass also gelten soll,

Xr mal Fr ist die Summe i gleich 1 bis n der Einzelmomente Xi mal Fi. Und damit habe ich

eine Gleichung für das unbekannte Xr gefunden, das heißt, ich kann jetzt das Xr ausrechnen als

Summe i gleich 1 bis n von Xi mal Fi durch Fr und dafür kann ich auch wieder einsetzen i gleich 1

bis n Fi. So bekomme ich den Abstand der Wirkungslinie der Resultierenden vom Ursprung

und das ist dann auch meine Schwerpunktkoordinate. Das heißt, dieses Xr ist gleich dem Xs,

was bedeutet, wenn ich meinen Bezugspunkt auf diese spezielle Wirkungslinie, die mache ich

hier mal grün, lege, dann hat die Summe der Kräfte F1 bis Fn, also die ganzen roten Kräfte,

bezüglich eines Bezugspunktes auf dieser Linie kein Moment, das Moment verschwindet. Das ist die Summe

der Momente bezüglich dieses Punktes ist dann Null. Das kann ich jetzt für alle Richtungen machen,

indem ich einfach das nicht nur für X, sondern auch für Y und Z hinschreibe.

Wäre ein Xs, wäre 1 durch Fr Summe i gleich 1 bis n Xi Fi Ys, wäre 1 durch die resultierende

Summe i gleich 1 bis n Yi mal Fi und ein Zs 1 durch Ri gleich 1 bis n Zi mal Fi, beziehungsweise

zusammengefasst Rs als Vektor des Schwerpunktes wäre 1 durch Fr Summe i gleich 1 bis n von den

Ri Vektor mal Fi. Wenn ich also parallele Kräfte habe, die alle in eine Richtung zeigen,

sonst ist das etwas aufwendiger. Das Ganze braucht man in der Form relativ selten,

sozusagen nur die Vorstufe für den allgemeineren Fall, dass ich wirklich den Massenschwerpunkt

eines Körpers ausrechnen möchte. Das ist der nächste Punkt, 1.5.2, der Massenschwerpunkt.

Das heißt, wir haben wieder ein Körper, jetzt im dreidimensionalen. Ich zeichne mal hier

ein Koordinatensystem hin, XYZ. Und jetzt wirkt die Erdbeschleunigung g als Vektor hier

mit g mal e. Und e soll sozusagen die Richtung der Erdbeschleunigung angeben. Ich könnte

das Koordinatensystem ja irgendwie orientieren. In diesem Fall wäre e der Vektor der Erdbeschleunigungsrichtung

sozusagen minus eY. Also würde entgegen der Y-Richtung zeigen, aber das kann irgendwas

beliebig sein. Ich könnte das g auch in irgendeine andere Richtung wirken lassen. Das soll

im Einfingen so gerichtet sein. Dann hat dieser Körper natürlich irgendwie eine Gesamtmasse.